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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

4.16. Encontrar todas las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua) de la siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) :
c) f(x)=(3x+12x+1)2x+1x3f(x)=\left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}}

Respuesta

Estudiamos las asíntotas de la función: f(x)=(3x+12x+1)2x+1x3f(x)=\left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}}

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de ff

Aparecen dos denominadores en ff, hay que pedir que ninguno de ellos sea cero. El dominio de ff es R{12,3}\mathbb{R} - \{-\frac{1}{2}, 3\}

2)\textbf{2)} Asíntotas verticales Tenemos dos candidatos a asíntota vertical, x=12x=-\frac{1}{2} y x=3x=3. Estudiamos primero x=3x=3
 limx3(3x+12x+1)2x+1x3  \lim_{x \to 3} \left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}}  

Fijate que cuando xx tiende a 33, lo del paréntesis tiende a 107\frac{10}{7} (número mayor que 11) y el exponente tiende a \infty. Abrimos por derecha y por izquierda: 

- Cuando xx tiende a 33 por derecha, el exponente tiende a ++\infty, por lo tanto: limx3+f(x)=+ \lim_{x \to 3+} f(x) = +\infty - Cuando xx tiende a 33 por izquierda, el exponente tiende a /infty-/infty, por lo tanto: limx3f(x)=0 \lim_{x \to 3-} f(x) = 0

Como ya uno de los límites nos dio infinito, entonces efectivamente en x=3x=3 tenemos una asíntota vertical. 

Ahora nos quedaría estudiar si x=12x=-\frac{1}{2} es asíntota vertical o no. Para hacerlo, tendríamos que tomar límite y, si haces eso, nos encontramos con una indeterminación de tipo ()0(\infty)^0. Ya te comenté en el Ejercicio anterior que este tipo de indeterminaciones jamás en los últimos años aparecieron en parciales ni en finales, y este límite en particular queda bastante cuentoso de resolver. No tiene absolutamente nada que ver con el enfoque y la dificultad que tienen los exámenes, creo que en este caso poner acá la resolución no sólo no te va a sumar, sino que lo más probable es que reste y confunda. 

3)\textbf{3)} Asíntotas horizontales: Tomamos límite cuando xx tiende a ±\pm \infty limx±(3x+12x+1)2x+1x3 \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}} Tanto en más como en menos infinito, fijate que lo que está entre paréntesis está tendiendo a 32\frac{3}{2} y el exponente está tendiendo a 22. Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=(32)2=94y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}

Como ya tenemos asíntotas horizontales, seguro no va a haber asíntotas oblicuas, por lo que no las buscamos. 
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