$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f$

Aparecen dos denominadores en $f$, hay que pedir que ninguno de ellos sea cero. El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{-\frac{1}{2}, 3\}$

$\textbf{2)}$ Asíntotas verticales Tenemos dos candidatos a asíntota vertical, $x=-\frac{1}{2}$ y $x=3$. Estudiamos primero $x=3$

 $ \lim_{x \to 3} \left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}} $ 

Fijate que cuando $x$ tiende a $3$, lo del paréntesis tiende a $\frac{10}{7}$ (número mayor que $1$) y el exponente tiende a $\infty$. Abrimos por derecha y por izquierda: 

- Cuando $x$ tiende a $3$ por derecha, el exponente tiende a $+\infty$, por lo tanto: $ \lim_{x \to 3+} f(x) = +\infty $ - Cuando $x$ tiende a $3$ por izquierda, el exponente tiende a $-/infty$, por lo tanto: $ \lim_{x \to 3-} f(x) = 0 $

Como ya uno de los límites nos dio infinito, entonces efectivamente en $x=3$ tenemos una asíntota vertical. 

Ahora nos quedaría estudiar si $x=-\frac{1}{2}$ es asíntota vertical o no. Para hacerlo, tendríamos que tomar límite y, si haces eso, nos encontramos con una indeterminación de tipo $(\infty)^0$. Ya te comenté en el Ejercicio anterior que este tipo de indeterminaciones jamás en los últimos años aparecieron en parciales ni en finales, y este límite en particular queda bastante cuentoso de resolver. No tiene absolutamente nada que ver con el enfoque y la dificultad que tienen los exámenes, creo que en este caso poner acá la resolución no sólo no te va a sumar, sino que lo más probable es que reste y confunda. 

$\textbf{3)}$ Asíntotas horizontales: Tomamos límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ $ \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{3 x+1}{2 x+1}\right)^{\frac{2 x+1}{x-3}} $ Tanto en más como en menos infinito, fijate que lo que está entre paréntesis está tendiendo a $\frac{3}{2}$ y el exponente está tendiendo a $2$. Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$

Como ya tenemos asíntotas horizontales, seguro no va a haber asíntotas oblicuas, por lo que no las buscamos.